Introduktion till Integraler
Integralberäkning är en del av kalkylen som handlar om integration, det vill säga processen att beräkna arean under en kurva. Detta koncept används för att bestämma storheter som area, volym, och andra som involverar ackumulation.
Obestämda Integraler
En obestämd integral av en funktion
ger en ny funktion
F(x)
vars derivata är
f(x)
. Detta uttrycks som:
där C är en integrationskonstant.
Exempel:
Om �(�)=�2f(x)=x2, då är den obestämda integralen:
∫�2 ��=13�3+�∫x2dx=31x3+C
Bestämda Integraler
En bestämd integral används för att beräkna det exakta värdet av området under kurvan för �(�)f(x) mellan två punkter �a och �b. Detta uttrycks som:
∫���(�) ��∫abf(x)dx
Exempel:
För att beräkna ∫02�2 ��∫02x2dx:
- Beräkna den obestämda integralen för att få 13�3+�31x3+C.
- Använd gränserna för att beräkna [13(2)3]−[13(0)3]=83[31(2)3]−[31(0)3]=38.
Tillämpningar av Integraler
Integraler har en mängd tillämpningar inom olika vetenskaps- och ingenjörsdiscipliner, inklusive:
- Beräkning av areor och volymer.
- Bestämning av centrum för massa.
- Beräkning av arbete utfört av en kraft.